Mathématiques
Distributivité - Les formules en 4ème
C’est une partie assez abstraite du programme de mathématiques en collège, mais indispensable à plus haut niveau ! Alors courage !
La distributivité est une application du calcul littéral qui permet de transformer une somme en un produit (factoriser), ou l’inverse (développer).
Les formules
La multiplication et l’addition vérifient une propriété que nous allons étudier ici.
Essayons de calculer 5 × (3 + 4) = 5 × 7 = 35.
Puis, calculons 5 × 3 + 5 × 4 = 15 + 20 = 35.
On obtient le même résultat :
- en additionnant d’abord 3 et 4, puis en multipliant la somme par 5,
- en multipliant d’abord 3 et 4 par 5, puis en additionnant ces produits.
Cette propriété se vérifie avec tous les autres nombres, pas seulement 3, 4 et 5 !
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : plutôt que de multiplier une somme par un nombre, on peut tout aussi bien distribuer cette multiplication aux termes de la somme puis effectuer cette somme.
| Plutôt que de calculer la somme de 3 et 4, puis multiplier cette somme par 5… | …on distribue cette multiplication à 3 et à 4… | …ce qui donne le même résultat ! |
| 5 × (3 + 4) | 5 × (3 + 4) | 5 × 3 + 5 × 4 |
Notez qu’un exemple de distributivité a déjà été vu bien avant : il existe deux formules pour calculer le périmètre d’un rectangle, et l’on passe de l’une à l’autre par distributivité.
Avec le calcul littéral, on peut écrire cette propriété de la façon suivante :
Si k, a et b sont des nombres, alors :
k × (a + b) = k × a + k × b
Ici, k est appelé le facteur commun : c’est le nombre qui multiplie à la fois a et b.
Comme il est possible de ne pas écrire les multiplications qui précèdent une lettre ou une parenthèse, la formule peut se réécrire ainsi :
k(a + b) = ka + kb
Comme on l’a vu en étudiant les nombres relatifs, soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Toute soustraction est équivalente à une addition.
Il existe donc une autre formule pour les soustractions :
k(a – b) = ka – kb
Attention : cela ne marche pas avec d’autres opérations.
Il est faux de dire que « k + (a × b) = k + a × k + b », ou que « k × (a × b) = k × a × k × b ».
De toute façon, les parenthèses de ces deux exemples sont inutiles à cause des priorités opératoires.
On ne peut pas distribuer de divisions non plus.
Nous savons donc qu’on peut passer de « k(a + b) » à « ka + kb » ou inversement.
Il y a donc deux façons d’écrire un même calcul.
Aucune des deux n’est « meilleure » que l’autre : parfois le produit (à gauche) est plus utile, parfois la somme (à droite). Nous allons apprendre à passer de l’une à l’autre.