Dans l’histoire des mathématiques, on a souvent créé de nouveaux nombres pour pouvoir résoudre des problèmes que les nombres existants ne permettaient pas de résoudre.

Par exemple, on a créé les nombres négatifs pour pouvoir calculer des soustractions comme 3 – 7, qui donne le nombre négatif - 4.

Les complexes sont aussi un nouveau « type » de nombre étudié en mathématiques expertes.

Ensembles de nombres

Pour l’instant, quels ensembles de nombres connaissons-nous ?

• les nombres entiers positifs ℕ ,
• les nombres entiers relatifs ℤ,
• les nombres rationnels ℚ ,
• les nombres réels ℝ.

Chacun de ces ensembles est inclus dans le suivant ( ℝ contient ℚ, etc.)

Si vous ne vous rappelez plus de tout ceci, faites un tour sur la fiche Ensembles et logique !

On travaille donc le plus souvent dans les nombres réels ℝ.
Mais dans cet ensemble, il y a encore des problèmes très simples qu’on ne peut pas résoudre ! Par exemple :

Quelle est la solution de l’équation x² = - 1 ?

Voici un problème tout bête, mais qui n’a pas de solution.
L’équation x² = 25 a bien deux solutions : 5 et – 5.
L’équation x² = 7 en a aussi, même si ce sont des nombres plus compliqués :  √  7  et   √ -7
(la racine et le carré s’annulent).

Mais pour x² = - 1 , on est coincés : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

En effet, il y a une règle très simple, connue depuis la 4^ème, sur les nombres réels :

Le carré d’un nombre (un nombre multiplié par lui-même) est toujours positif.

D’après cette règle, l’équation x² = -1 (ou bien x² = - 7) n’a pas de solution.
Quel que soit le nombre qu’on met à la place de x, il sera mis au carré et deviendra positif.
Par exemple, (- 1)² = (- 1) × (- 1) = + 1…

On a vu dans la fiche sur les polynômes du second degré qu’il existe en fait plein d’équations toutes simples qui n’ont pas de solution, quand le discriminant du polynôme est négatif.

Dans ce cas-là, que font les mathématiciens ?

Ils essaient de construire un ensemble de nombres où l’on peut résoudre ces problèmes insolubles.

C’est l’ensemble des nombres complexes.

Historiquement, les nombres complexes ont été créés pour la première fois en 1545 par le mathématicien italien Cardan, pour résoudre l’équation x(10 – x) = 40 dont la solution est un nombre complexe.

Les nombres complexes sont loin d’être une distraction de mathématiciens !
Ils sont utiles dans d’autres sciences, et sont très présents en physique.

Les nombres complexes