Notre système décimal est une numération positionnelle : la valeur d’un chiffre dépend de son emplacement dans l’écriture du nombre. Par exemple, dans le nombre 3 543,93, le chiffre trois de gauche vaut 3 000, celui du milieu vaut 3 et celui de droite ne vaut que 0,03.

Il est indispensable de pouvoir représenter des nombres infiniment grands : la population mondiale, la distance Terre-Soleil, l’année-lumière, la masse de la Terre… et des nombres infiniment petits : la masse d’un grain de sable, le rayon d’un atome…

Et ici, même notre système de position montre ses limites ! La distance Terre-Soleil est d’environ 150 000 000 km. L’année lumière représente 9 460 730 472 580,8 km. La masse de la Terre est d’environ 5 972 000 000 000 000 000 000 kg. De même, le rayon d’un atome peut atteindre des valeurs comme 0,000 000 000 03 m.

En les regardant, on imagine bien que ces nombres sont très grands ou très petits. On peut les lire : après les millions et les milliards, il existe les billions, les billiards, puis les trillions… Mais ce n’est pas très pratique, l’écriture de ces nombres prend de la place, et il est difficile de faire des calculs dans ces conditions.

Pour des nombres de cette taille, nous avons besoin des puissances de 10 et des multiples d’unités.

Puissances

Le carré d'un nombre

En arrivant en 4^ème, votre enfant a sans doute déjà entendu parler du carré d’un nombre, qui est égal au nombre multiplié par lui-même.
Par exemple, le carré de 7 est égal à 7 × 7 = 49, et se note 7².
De même, 5² = 5 × 5 = 25.

Attention : le carré est parfois confondu avec le double d’un nombre, et dans une classe, il arrive fréquemment d’entendre « 10 » lorsqu’on demande le carré de 5.

Votre enfant doit bien distinguer le double, qui consiste à multiplier un nombre par 2, du carré, qui consiste à multiplier le nombre par lui-même.

Notez que le carré d’un nombre est toujours positif.

Même en calculant le carré de (- 3), on multiplie (- 3) par lui-même : (- 3) × (- 3). 
D’après les règles de multiplication sur les relatifs, on obtient + 9. 

On définit aussi le cube d’un nombre.

Calculer le cube d’un nombre revient à le multiplier trois fois par lui-même. 
Autrement dit, le cube de 4, qui se note 4³, est égal à 4 × 4 × 4 = 64.

En généralisant, on parle de puissance d’un nombre. 
Mettre un nombre à la puissance n revient à le multiplier n fois par lui-même. 
Regardez cet exemple :
« 7 puissance 2 » ou « 7 au carré » vaut 7² = 7 × 7 = 49
« 7 puissance 3 » ou « 7 au cube » vaut 7³ = 7 × 7 × 7  = 343
« 7 puissance 4 » vaut 7⁴ = 7 × 7 × 7 × 7  = 2 401
« 7 puissance 5 » vaut 7⁵ = 7 × 7 × 7 × 7  × 7 = 16 807
et ainsi de suite…

Le « petit nombre » qui désigne le nombre de multiplications (le « 3 » de 7³) est appelé exposant.

Les puissances correspondent donc à des multiplications répétées, et comme vous pouvez le voir avec 7⁵, elles permettent d’obtenir rapidement de grands nombres ! Appliquons cela aux puissances de 10.

Puissances…de 10 !

Essayons de calculer les puissances de 10.
10² = 10 × 10 = 100
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10  = 10 000
etc.

On constate que l’exposant nous donne en fait le nombre de zéros du résultat.

Par exemple, 10⁶ « 10 puissance 6 » vaut 1 000 000, c’est-à-dire un million. 
10¹⁵ = 1 000 000 000 000 000, (1 un et 15 zéros) c’est-à-dire mille milliards, ou un billiard !
Il y a deux cas particuliers :

• 10¹ = 10 (1 un et 1 zéro)
• 10⁰ = 1 (1 un et aucun zéro).

Nous n’en avons pas parlé précédemment, mais l’exposant peut aussi être négatif.

Une puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance d’exposant positif correspondante.

Plus concrètement :

Les puissances d’exposant négatifs peuvent donc représenter l’infiniment petit.
Une fois encore, l’exposant donne le nombre de zéros ! 10^-9 = 0,000 000 001 (un milliardième, avec 1 un et 9 zéros).
On remarque aussi que, par exemple, 10⁶ vaut un million, et 10^-6 vaut un millionième.

Pour l’instant, nous savons donc représenter des nombres infiniment grands, mais qui comportent obligatoirement 1 un et plusieurs zéros ! Reste à savoir comment représenter tous les nombres.

Multiplications

En 6^ème, votre enfant a vu (ou revu) comment multiplier par 10, 100, 1 000… et par 0,1, 0,01, 0,001… c’est-à-dire les puissances de 10 !

Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000…

on décale la virgule vers la droite (pour agrandir le nombre), d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans la puissance de 10 ! Et s’il n’y a plus de chiffres pour décaler la virgule, on rajoute des zéros.

Quelques exemples :

• 3,568 × 100 = 356,8     : on a décalé la virgule de 2 rangs, car 100 comporte 2 zéros
• 74 × 10 000 = 740 000  : on ne pouvait pas décaler la virgule, donc on a ajouté 4 zéros, comme dans 10 000
• 6,9 × 1 000 = 6 900      : on a décalé la virgule de 1 rang, puis on a rajouté 2 zéros, car 1 + 2 = 3

Pour multiplier par 0,1, 0,01, 0,001…